Nylig skrev ukemagasinet Le Point at den 70 år gamle erkebiskopen har hatt et forhold til en kvinne, noe som strider mot sølibat-reglene i Den katolske kirke.
– Han hadde en tvetydig atferd overfor en person som sto ham nær, sier en talsperson for bispedømmet og legger til at det var «ikke et kjærlig forhold», heller ikke seksuelt.
Aupetit har selv erkjent å ha hatt det han kaller et «tvetydig» forhold til en kvinne, ikke et «kjærlighetsforhold».
En talskvinne sa i forrige uke at tilbudet om å trekke seg ikke var en innrømmelse av skyld, men en ydmyk handling og et tilbud om dialog.
Katolske prester er bundet til sølibat etter kirkens doktrine og er ment å praktisere seksuell avholdenhet.
Den franske kirke er fortsatt rystet av rapporten fra oktober fra en uavhengig kommisjon som anslår at katolske prester har misbrukt 216.000 barn siden 1950.
Å håndtere de mange avsløringene om overgrep begått av prester, var en av de største utfordringene som pave Frans sto overfor da han ble valgt i 2013.
[ Erkebiskopen i Paris villig til å gå av etter private avsløringer ]
